Preprosto harmonično gibanje je izumil francoski matematik baron Jean Baptiste Joseph Fourier leta 1822. Edwin Armstrong (od 18. decembra 1890 do 1. februarja 1954) je v svojih poskusih opazoval nihanja leta 1992 in Alexander Meissner (od 14. septembra 1883 do 3. januarja 1958) oscilatorji marca 1993. Izraz harmonik je latinska beseda. Ta članek obravnava pregled harmoničnega oscilatorja, ki vključuje njegovo definicijo, vrsto in uporabo.
Kaj je harmonski oscilator?
Harmonični oscilator je opredeljen kot gibanje, pri katerem je sila v sorazmerni točki sorazmerna s delcem in proizvaja moč v sinusni valovni obliki. Sila, ki povzroča harmonijo gibanje lahko matematično izrazimo kot
F = -Kx
Kje,
F = obnavljanje sile
K = vzmetna konstanta
X = Oddaljenost od ravnotežja
blok-diagram-harmoničnega oscilatorja
Obstaja točka v harmoničnem gibanju, v kateri sistem niha, sila, ki maso vedno znova pripelje na isto točko, od koder se začne, sila se imenuje obnovitvena sila, točka pa ravnotežna točka ali srednji položaj. Ta oscilator je znan tudi kot linearni harmonski oscilator . Energija teče iz aktivne sestavnih delov na pasivne komponente v oscilatorju.
Blok diagram
The blokovni diagram harmoničnega oscilatorja sestoji iz ojačevalnik in omrežje za povratne informacije. Ojačevalnik se uporablja za ojačanje signalov in da ojačani signali prehajajo skozi povratno omrežje in generirajo izhod. Kjer je Vi vhodna napetost, je Vo izhodna napetost in Vf povratna napetost.
Primer
Maša na pomlad: Vzmet zagotavlja obnovitveno silo, ki pospeši maso, in obnovitvena sila je izražena kot
F = ma
Kjer je 'm' masa, a pa pospešek.
mass-on-a-spring
Vzmet je sestavljena iz mase (m) in sile (F). Ko sila potegne maso v točki x = 0 in je odvisna samo od x - položaj mase in vzmetna konstanta je predstavljena s črko k.
Vrste harmoničnih oscilatorjev
Vrste tega oscilatorja vključujejo predvsem naslednje.
Prisilni harmonični oscilator
Ko na gibanje sistema uporabimo zunanjo silo, naj bi bilo gibanje prisilni harmonski oscilator.
Dušeni harmonični oscilator
Ta oscilator je opredeljen kot, ko na sistem uporabimo zunanjo silo, potem se gibanje oscilatorja zmanjša in njegovo gibanje naj bi bilo dušeno harmonično gibanje. Obstajajo tri vrste dušenih harmoničnih oscilatorjev
blažilne valovne oblike
Preko Damped
Ko se sistem počasi premika proti ravnotežni točki, naj bi bil premočen harmonični oscilator.
Pod Damped
Ko se sistem hitro premakne proti ravnotežni točki, naj bi bil premočen harmonični oscilator.
Kritično dušeno
Ko se sistem premika čim hitreje, ne da bi nihal okoli ravnotežne točke, naj bi šlo za premočen harmonični oscilator.
Kvantno
Izumili so ga Max Born, Werner Heisenberg in Wolfgang Pauli na 'University of Gottingen'. Beseda kvant je latinska beseda, pomen kvant pa majhna količina energije.
Zero Point Energy
Energija ničelne točke je znana tudi kot energija osnovnega stanja. Opredeljeno je, kadar je energija osnovnega stanja vedno večja od nič, in ta koncept je odkril Max Planck v Nemčiji in formula, razvita leta 1990.
Povprečna energija enačbe dušenega preprostega harmoničnega oscilatorja
Obstajata dve vrsti energij, ki sta kinetična in potencialna energija. Vsota kinetične in potencialne energije je enaka celotni energiji.
E = K + U ………………. Enačba (1)
Kjer je E = celotna energija
K = kinetična energija
U = potencialna energija
Kjer je k = k = 1/2 mvdva………… eq (2)
U = 1/2 kxdva………… eq (3)
cikel nihanja za povprečne vrednosti
Povprečne vrednosti kinetične in potencialne energije na nihajni cikel so enake
Kje vdva= vdva(TOdva-xdva) ……. eq (4)
Nadomestna eq (4) v eq (2) in eq (3) bosta dobili
k = 1/2 m [šdva(TOdva-xdva)]]
= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]]dva……. eq (5)
U = 1/2 kxdva
= 1/2 k [Greh (wt + ø0)]]dva……. eq (6)
Nadomestna eq (5) in eq (6) v eq (1) dobita skupno energijsko vrednost
E = 1/2 m [šdva(TOdva-xdva)] + 1/2 kxdva
= 1/2 m wdva-1/2 m šdvaTOdva+ 1/2 kxdva
= 1/2 m wdvaTOdva+1/2 xdva(K-mwdva) ……. eq (7)
Kje mwdva= K , nadomestimo to vrednost v enačbi (7)
E = 1/2 K Adva- 1/2 Kxdva+ 1/2 xdva= 1/2 K Adva
Skupna energija (E) = 1/2 K Adva
Povprečne energije za eno časovno obdobje so izražene kot
TOpovprečno= Upovprečno= 1/2 (1/2 K Adva)
Valna funkcija harmoničnega oscilatorja
Hamiltonov operator je izražen kot vsota kinetične in potencialne energije in izražen kot
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Kjer je ђ = Hamitonian operator
T = kinetična energija
V = potencialna energija
Za generiranje valovne funkcije moramo poznati Schrodingerjevo enačbo in enačba je izražena kot
-đdva/ 2μ * ddvaѱυ(Q) / dQdva+ 1 / 2KQdvaѱυ(Q) = E.υѱυ(Q) …………. eq (2)
Kjer je Q = dolžina normalne koordinate
Μ = efektivna masa
K = konstanta sile
Mejni pogoji Schrodingerjeve enačbe so:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
Enačbo (2) lahko zapišemo tudi kot
ddvaѱυ(Q) / dQdva+ 2μ / đdva(Eυ-K / 2 * Qdva) ѱυ(Q) = 0 ………… eq (3)
Parametri, ki se uporabljajo za reševanje enačbe, so
β = ђ / √μk ……… .. eq (4)
ddva/ dQdva= 1 / βdvaddva/ dxdva………… .. eq (5)
V eq (3) nadomestimo eq (4) in eq (5), potem diferencialna enačba za ta oscilator postane
ddvaѱυ(Q) / dxdva+ (2 μbdvaEυ/ đdva- xdva) ѱυ(x) = 0 ……… .. eq (6)
Splošni izraz za potenčne serije je
ΣC¬nx2 …………. eq (7)
Eksponentna funkcija je izražena kot
exp (-xdva/ 2) ………… eq (8)
eq (7) se pomnoži z eq (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Hermitov polinom dobimo z uporabo spodnje enačbe
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xdva) d / dxυ* exp (-xdva) …………… .. eq (10)
Normalizacijska konstanta je izražena kot
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
The preprosta rešitev harmoničnega oscilatorja je izraženo kot
Ѱυ(x) = NυHυ(in) e-x2 / 2……………… eq (12)
Kjer je Nυje normalizacijska konstanta
H υ je Hermite
je -x2 / dvaje Gaussian
Enačba (12) je valovna funkcija harmoničnega oscilatorja.
Ta tabela prikazuje prvi izraz polimov Hermita za stanja z najnižjo energijo
| υ | 0 | 1. | dva | 3. |
Hυ(Y) | 1. | 2y | 4ydva-2 | 8 let3.-12 let |
Valovne funkcije preprost graf harmoničnih oscilatorjev za štiri najnižja energijska stanja so prikazana na spodnjih slikah.
valovne funkcije-harmoničnega oscilatorja
Gostote verjetnosti tega oscilatorja za štiri najnižja energetska stanja so prikazane na spodnjih slikah.
verjetnost-gostote-valovnih oblik
Aplikacije
Simplementiraj harmonični oscilatoraplikacije vključujejo predvsem naslednje
- Avdio in video sistemi
- Radio in druge komunikacijske naprave
- Pretvorniki , Alarmi
- Zvočniki
- Dekorativne luči
Prednosti
The prednosti harmoničnega oscilatorja so
- Poceni
- Visokofrekvenčna generacija
- Visoka učinkovitost
- Poceni
- Prenosni
- Ekonomično
Primeri
Primer tega oscilatorja vključuje naslednje.
- Glasbila
- Preprosto nihalo
- Sistem masnih vzmeti
- Gugalnica
- Gibanje kazalcev ure
- Gibanje koles avtomobilov, tovornjakov, avtobusov itd
To je ena vrsta gibanja, ki jo lahko opazujemo vsak dan. Harmonična oscilator izpeljana je valovna funkcija s Schrodingerjem in enačbe harmoničnega oscilatorja. Tukaj je vprašanje, kakšno vrsto gibanja izvaja bungee jumping?
